Hace más de dos mil trescientos años, en la antigua Grecia, vivió un hombre llamado Euclides. Sabemos muy poco de su vida, pero sabemos algo de sus pasiones, pues escribió una de las obras más influyentes de la historia de la humanidad, hoy conocida como Los elementos de Euclides. En algún momento de su existencia, este erudito pensador decidió que era necesario compilar y organizar todos los conocimientos en matemáticas existentes hasta entonces, particularmente los de geometría, y tuvo la sencilla pero genial visión de hacerlo de manera ordenada. En su proyecto de construir una estructura lógica de solidez inédita, me lo imagino retrocediendo de certeza en certeza; identificando los resultados más complejos y separándolos de los más sencillos, clasificando los argumentos y estructurándolo todo de tal forma que pudiera rastrearse el origen de cada afirmación. Pero entonces surge una pregunta inevitable: ¿cuál es el origen? ¿Dónde empieza el conocimiento? Euclides logro reducirlo todo a cinco postulados: cinco enunciados sencillos y tan evidentes que tomaríamos por verdad sin cuestionarlos. El primero de ellos, por ejemplo, es que “dados dos puntos distintos A y B, existe una única línea recta que los une”. A partir de esas cinco piezas, Euclides despliega un universo maravilloso: el universo de la Geometría Euclidiana.
Cientos de años después, a finales del siglo XIX, en Alemania, un matemático y filósofo llamado Gottlob Frege, en Jena, se propuso un programa similar: derivar toda la aritmética a partir de unos pocos principios lógicos. Para entonces, el proyecto era más complicado que en la antigüedad, puesto que el cuerpo de conocimiento que quería abarcar era mucho mayor y había crecido durante siglos de manera desordenada. Lo que Frege quería investigar, en el fondo, era el concepto de número; además, se preguntaba si las verdades matemáticas eran objetivas o si dependían, de algún modo, de la mente humana. Como logicista, estaba convencido de que debía comenzar definiendo las entidades u objetos de estudio. ¿Qué es el número «dos»? ¿Es una propiedad del conjunto de dos manzanas o es una idea en nuestra mente? ¿Es el «dos» simplemente una palabra o es un objeto? Decidió definirlo todo en términos de «clases», que son, en esencia, los «conjuntos» que conocemos hoy en día.
Unos años más tarde, a principios del siglo XX, otro filósofo y matemático, esta vez en Inglaterra, leyó fascinado los trabajos de Frege, pues estaba convencido de que toda la matemática podía reconstruirse a partir de unos pocos principios lógicos. Su nombre era Bertrand Russell. Al examinar cuidadosamente los cimientos del sistema de Frege, encontró una inconsistencia terrible. ¡Había descubierto una paradoja capaz de derribarlo todo! Con la honestidad intelectual que lo caracterizaba, escribió a Frege para comunicarle el problema justo cuando el segundo volumen de su obra estaba por imprimirse. Frege comprendió de inmediato la gravedad de la situación y llamó a la imprenta para detenerlo todo. Décadas de trabajo se tambaleaban de pronto. En 1903, Russell publicó Los principios de las matemáticas, el libro en el que expone su famosa paradoja y las consecuencias que esta supone. En un inicio parecía que el problema podría solucionarse sin excesivas dificultades —¡debía solucionarse! No cabía la posibilidad de que no fuera así—. Sin embargo, los años pasaban y ninguna solución parecía completamente satisfactoria. Lo que estaba en juego no era un resultado aislado; era algo más profundo, algo que remitía a la pregunta fundamental: ¿qué son realmente las matemáticas?
Cuando nos preguntamos qué es la geometría —en particular, qué es la geometría euclidiana— la respuesta es relativamente sencilla: es todo aquello que puede deducirse a partir de los cinco postulados de Euclides. Si tuviéramos algo semejante para las matemáticas en su totalidad, entonces entenderíamos qué son: bastaría identificar sus axiomas fundamentales y derivar de ellos todas las verdades posibles. Ese fue, en términos generales, el sueño de muchos de los grandes pensadores de finales del siglo XIX y principios del XX: reducir el vasto universo de las matemáticas a la austera gramática de la lógica.
Sin embargo, había razones para pensar que la situación era más compleja de lo que parecía. El descubrimiento de las geometrías no euclidianas tuvo un efecto desconcertante. Durante más de dos mil años, los axiomas o postulados de Euclides habían parecido evidentes, pero nadie se había preguntado seriamente si podían modificarse. Resultó que, al hacerlo, surgían nuevas geometrías tan consistentes como la original, pero completamente distintas. Aquello obligó a replantear una pregunta que antes parecía absurda: si los axiomas pueden cambiarse, ¿dónde reside exactamente la verdad de las matemáticas? La crisis de los fundamentos adquirió entonces una urgencia inédita. Algunos, como Russell y Whitehead, intentaron reconstruir las matemáticas a partir de la lógica. Otros, como Hilbert, propusieron axiomatizarlo todo y demostrar que los sistemas resultantes estaban libres de contradicciones. Parecía una empresa razonable. Después de todo, si las matemáticas eran el lenguaje de la certeza, debía ser posible demostrar rigurosamente que esa certeza existía.
Fue entonces cuando apareció un joven matemático austríaco llamado Kurt Gödel, quien publicó, en 1931, un resultado que transformó para siempre nuestra comprensión de las matemáticas. Lo que probó fue que todo sistema formal consistente, capaz de describir la aritmética elemental, es incompleto: existen enunciados que no pueden demostrarse ni refutarse dentro de él. Más aún, ningún sistema de este tipo puede demostrar por sí mismo que está libre de contradicciones. El sueño de encontrar unos cimientos definitivos se desvaneció de un golpe. Lo extraordinario es que Gödel no destruyó las matemáticas. Las liberó de una ilusión. Las matemáticas siguieron siendo extraordinariamente fiables, extraordinariamente precisas y extraordinariamente útiles. Pero dejaron de ser el reino cerrado y perfectamente seguro que muchos habían imaginado.
La doctora Amanda Montejano Cantoral es profesora titular en la Unidad Multidisciplinaria de Docencia e Investigación de Juriquilla, de la Facultad de Ciencias de la UNAM
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