A lo largo de la historia, el ser humano ha utilizado las matemáticas como una herramienta para tratar de encontrar las leyes o reglas que rigen la naturaleza. Hemos visto a grandes personajes como Euclides, Pitágoras, Newton, Leibniz, Gauss cambiar el mundo.
Actualmente, el modelado matemático ha atraído la atención de diversos científicos para construir modelos con base en ecuaciones diferenciales para analizar y predecir los fenómenos que nos rodean. No obstante, cuando escuchamos la palabra ecuaciones recordamos métodos o técnicas que aprendimos para resolverlas, su formalidad y su complejidad.
En el mundo de las matemáticas existen dos tipos de ecuaciones. Aquellas que representan relaciones entre cantidades y las que nos proporcionan información sobre un fenómeno. La tarea con las segundas es involucrar técnicas analíticas y numéricas para resolverlas. Sin embargo, podemos encontrar en la literatura cómo diversos personajes involucrados en la investigación han introducido un nuevo tipo de cálculo, el cálculo fraccionario.
Pero, ¿qué es el cálculo fraccionario (CF)? ¿Es un nuevo tipo de matemáticas? Los primeros planteamientos del CF se pueden encontrar alrededor del año 1695 en una de las cartas que el marqués de l’Hôpital envió a Leibniz en la que preguntaba “en la notación (d^n y)/(dx^n ), ¿qué si ‘n’ es ½?”. El segundo personaje concluyó “que era una aparente paradoja de la cual se extraerían consecuencias útiles”.
Posteriormente, personajes como Euler, Laplace, Lacroix y Fourier mencionaron al CF en sus trabajos, pero no fue hasta 1823 que Niels Henrik Abel aplicó el CF para la solución de una ecuación en el problema de tautócrona (ver Figura 1).
Y a todo esto, ¿cómo el cálculo fraccionario puede ayudarnos a representar mejor lo que pasa en la naturaleza? Una de las propiedades que aprendimos a lo largo de nuestra formación es la propiedad asociativa. Es decir, aquella regla que nos dice que sin importar la forma en cómo agrupemos los factores en una operación básica, como la suma o la multiplicación, el resultado no se ve afectado.
Atangana y Gómez-Aguilar en su artículo titulado Decolonisation of fractional calculus rules: Breaking commutativity and associativity to capture more natural phenomena nos comparten un ejemplo muy práctico en el que esta propiedad no suele cumplirse.
También consideran que las reglas matemáticas convencionales son construidas por el ser humano mientras que la naturaleza se construye a partir de la capacidad del mismo. Bajo esta premisa, el esfuerzo de diversos investigadores se ha dirigido en proponer operadores matemáticos que obedezcan las leyes de la naturaleza. Operadores con propiedades de no-localidad y memoria.
En este contexto, la propiedad de memoria está relacionada con la conexión que existe en algunas observaciones actuales y posteriores en un intervalo de tiempo. La no localidad de este tipo de operadores implica que la solución a ecuaciones diferenciales fraccionarias en términos de costo computacional y almacenamiento en memoria es más costosa. No obstante, el CF ofrece varias ventajas al momento de utilizarlo, por ejemplo:
- Mejor ajuste a datos experimentales debido a su orden fraccionario.
- Variedad de definiciones que pueden elegirse de acuerdo con el fenómeno que se desea estudiar.
- Modelos que describen con mayor precisión señales estacionarias (señales cuyas propiedades no varían en el tiempo) y no estacionarias.
- Controladores robustos ante la presencia de ruido.
- Máscaras diferenciales robustas para el procesamiento de imágenes.
Procesamiento de señales con cálculo fraccionario
Para modelar señales se requieren modelos matemáticos capaces de representar la dinámica real de los fenómenos que nos rodean. Estos modelos suelen ser utilizados para reconocer, clasificar y extraer características para coadyuvar en la toma de decisiones. Sin embargo, al modelar señales, específicamente electromiogramas (EMG), electrocardiogramas (ECG), fonogramas (PCG) y electroencefalogramas (EEG) se puede observar que en general estas se ven afectadas por algún tipo de ruido, lo que conlleva una pérdida de información.
Una de las estrategias para abordar este problema es utilizar modelos matemáticos con memoria. Es decir, modelos de orden fraccionario que ofrecen una precisión mayor en contraste con las propuestas clásicas reportadas por otros investigadores.
Para mostrar el potencial del CF, en la Figura 3 mostramos una comparativa entre un modelo matemático clásico y uno de orden fraccionario para modelar los voltajes de dos capacitores que se encuentran en un circuito equivalente de Chua, circuito electrónico ampliamente utilizado para estudiar caos.
En estos resultados se observa que el modelo fraccionario representa casi en su totalidad el experimento realizado en el laboratorio (puntos azules) mientras que el modelo ordinario (clásico) lo describe parcialmente. Por consiguiente, vemos cómo el CF nos permite representar fenómenos complejos mostrando su capacidad para modelar señales.
Lo anterior abre las puertas a propuestas innovadoras dentro de la ciencia y la tecnología. Por ejemplo, en el procesamiento de imágenes biomédicas, redes neuronales artificiales, algoritmos de optimización, diseño de esquemas de control, por mencionar algunas aplicaciones.
