La creación de modelos se considera parte esencial en toda actividad científica. Más que eso, yo diría que la creación de modelos es una actividad profundamente humana. Nos es inevitable hacer modelos para describir, entender o explicar situaciones, sistemas y fenómenos complejos a los cuales nos enfrentamos cada día. Como escribe Jorge Volpi en su más reciente libro, La invención de todas las cosas: Una historia de la ficción (Alfaguara, 2025), “El cerebro humano fue diseñado por la evolución para apresar el mundo mediante esquemas o mapas que le permitan transitarlo”. La sobrevivencia de nuestra especie radicó, no exclusivamente pero sí fundamentalmente, en nuestra capacidad de abstracción. Nuestra capacidad de abstracción, por su parte, se sostiene en gran medida por nuestra efectividad para crear buenos modelos. Discernir lo esencial de lo irrelevante. Ser capaces de distinguir entre toda la información a la cual tenemos acceso de aquella que nos será más útil en determinadas situaciones, nos ha dado superpoderes para sobrevivir. Somos animales hacedores inconscientes de modelos. Un modelo no es mas que una representación abstracta que simplifica la realidad con el objeto de entenderla y manejarla mejor.
Existen muchos tipos de modelos, incluso, de modelos matemáticos. Se escucha hablar de modelos empíricos, heurísticos, cualitativos, cuantitativos, probabilistas, deterministas, etc. Pero quizás no entendemos siquiera lo que es un modelo matemático. Tenemos modelos muy concretos y modelos muy generales. Por ejemplo, la ecuación y=2x-3 es un modelo algebraico que nos ayuda a entender la relación o dependencia lineal entre dos parámetros representados por las variables x y y. En este caso, dichas variables dependen la una de la otra en función de la siguiente regla: para cada valor de x el valor de y se obtiene al duplicar la cantidad x y restar tres unidades. Piensa, por favor, en un ejemplo de la vida real que se pueda modelar con esta relación. Al graficar la ecuación y=2x-3 en el plano cartesiano, obtenemos un modelo geométrico que nos permite visualizar claramente la dependencia entre x y y (ver figura 1).
Pero, ¿cuál es el modelo matemático? ¿La ecuación o la gráfica? ¿Es la gráfica un modelo de la ecuación o es, por el contrario, la ecuación un modelo de la gráfica? ¿Y la realidad, dónde queda? Tanto la ecuación como la gráfica son modelos matemáticos concretos que nos ayudan a entender situaciones reales específicas. También es verdad que la ecuación es un modelo de la gráfica y viceversa. Más importante aún resulta apuntar el hecho de que modelos matemáticos aparentemente simples, como los que acabamos de ver, están cargados de profundo significado y no poca historia. Tanto el álgebra como la geometría analítica son disciplinas matemáticas que se desarrollaron a lo largo de siglos. Son odiseas de modelos sobre modelos acompañados siempre de ingenio y mucha imaginación que, en ocasiones, tenemos que admitirlo, se desocuparon por completo de la realidad.
Analicemos, por ejemplo, el plano cartesiano en el cual hemos graficado la recta de la ecuación y=2x-3 (Figura 1). Aproximadamente unos tres siglos a.C., en Egipto, un hombre llamado Euclides desarrollaba (imaginaba, compilaba y develaba) un modelo llamado geometría, que en pocas palabras es el universo que se desprende de cinco axiomas, y describió en su gran obra Los Elementos (Figura 2). Casi 2000 años después, en Francia, René Descartes (padre de la geometría analítica y de la filosofía moderna, entro otros muchos atributos) introduce al modelo una idea genial: usar coordenadas. Con esa idea tan simple (identificar cada punto en el plano euclidiano con una pareja de números reales, y cada pareja de números reales con un punto en el plano) se tendió un puente indestructible y cómodamente transitable entre la geometría y el álgebra. Mediante la selección de un punto especial (el origen) y dos rectas perpendiculares (el eje x y eje y) que representan cada una al conjunto de los números reales, somos capaces de transportar objetos puramente geométricos al terreno del álgebra y de vuelta, lo cual conlleva ventajas inimaginables. El plano cartesiano que Descartes soñó es un modelo formidable, versátil e increíblemente útil, no sólo porque nos permite traducir de ida y vuelta objetos geométricos a objetos algebraicos, sino porque además se puede extender sin dificultad alguna a dimensiones mayores.
¿Y para qué nos podrían servir modelos de espacios de dimensiones mayores? Está claro que el plano cartesiano de dos dimensiones (puntos definidos por dos coordenadas) es un buen modelo para un espacio bidimencional, así como el plano cartesiano de tres dimensiones (puntos definidos por tres coordenadas) es un buen modelo para un espacio tridimensional, como en el cual, aparentemente, vivimos. Pero, ¿de qué nos serviría un modelo, por ejemplo, de un espacio 28-dimensional? ¿A quién le importaría, por qué razones, un espacio con 28 dimensiones? La respuesta se esconde en la siguiente pregunta: ¿Es el plano físico de dos dimensiones lo único que modela el plano cartesiano 2-dimensional? ¿Recuerdas el ejemplo de la vida real en que pensaste cuando hablamos de la ecuación y=2x-3? Es probable que muchos y muchas de ustedes hayan pensado en algún ejemplo relacionado con el movimiento de algún objeto, en el cual las variables x y y representan el tiempo y la distancia respectivamente, de manera que el modelo nos ayuda a comprender cómo se mueve tal objeto y cuál es su velocidad (la relación entre la distancia y el tiempo). He dicho que es probable que hayan pensado en algo así, puesto que ese es un ejemplo típico para explicar la utilidad de las funciones con dos variables, pero también es probable que más de un lector o lectora haya pensado en otros ejemplos en que interactúan otras dos variables diferentes al tiempo y a la distancia. Así, para modelar cualquier fenómeno en el cual interactúen 28 variables distintas echaremos mano de un espacio 28-dimensional.
La doctora Amanda Montejano Cantoral es profesora titular de la Unidad de Docencia e Investigación de Juriquilla de la Facultad de Ciencias de la UNAM
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