Muchos fenómenos naturales tienen un impacto enorme en la seguridad social, la salud pública y la economía. Entre ellos destacan los tsunamis y las inundaciones. De acuerdo con las Naciones Unidas (https://www.un.org/en/observances/tsunami-awareness-day), en los últimos cien años se han registrado 58 tsunamis que, en conjunto, han cobrado más de 260 000 vidas, un promedio cercano a 4 600 muertes por evento. Los daños económicos también suelen ser severos: destrucción de viviendas, afectaciones en puertos y carreteras, colapsos de plantas industriales e inundación de ciudades y zonas agrícolas. Por otro lado, en México hemos constatado los impactos inmediatos y graves asociados a lluvias intensas en diversas regiones del país, como se documenta en los reportes del CENAPRED de 2021 (https://www1.cenapred.unam.mx/DIR_INVESTIGACION/2022/XLI/RI/220221_RIAct23_Catalogoinundaciones2021.pdf).
Comprender estos fenómenos naturales es esencial para mitigar sus efectos dañinos mediante sistemas de alerta temprana. Esto sólo es posible a través de modelos matemáticos capaces de predecir su evolución temporal. Para construir dichos modelos es imprescindible identificar las leyes físicas que rigen el proceso, como las leyes de conservación de masa, de momento y de energía. Estas leyes se expresan naturalmente en términos de razones de cambio temporales y espaciales, que las matemáticas representan mediante derivadas parciales. De esta forma surgen las ecuaciones diferenciales parciales (EDPs), que relacionan una cantidad física con sus propias variaciones en el espacio y el tiempo.
Una vez formulado un modelo, interesa resolver la EDP correspondiente, ya sea obteniendo soluciones exactas o recurriendo a métodos numéricos. Contar con estas soluciones permite predecir el comportamiento futuro de las variables relevantes y, por ende, del fenómeno que se estudia.
Un modelo fundamental en dinámica de fluidos está dado por las ecuaciones de Navier–Stokes, que describen la evolución de fluidos laminares y turbulentos. De ellas pueden derivarse modelos simplificados para fenómenos específicos. Un ejemplo clásico son las ecuaciones de aguas someras, o ecuaciones de Saint-Venant, que describen la evolución de la superficie libre de un cuerpo de agua sobre una batimetría, como ocurre en inundaciones, flujos en ríos o canales, o en el rompimiento de presas. La Ilustración 1 muestra una simulación del rompimiento de una presa que generé con un método numérico central-upwind. El modelo predice la profundidad del agua en cada punto horizontal y la velocidad promedio entre el fondo y la superficie. Estas ecuaciones también sirven para modelar tsunamis, como en la Ilustración 2, correspondiente al evento del océano Índico en 2004 (ver https://www.noaa.gov/jetstream/2004tsu_max y la animación en https://commons.wikimedia.org/wiki/File:2004_Indonesia_Tsunami_Complete.gif#/media/File:2004_Indonesia_Tsunami_Complete.gif).
Para quienes deseen implementar software libre relacionado, como GeoClaw, recomiendo [1]. En [2] se presentan ideas recientes sobre redes neuronales informadas por la física aplicadas a este tipo de simulaciones.
Ecuaciones como las de Saint-Venant pertenecen a una clase de EDPs conocida como leyes de conservación hiperbólicas. Sus soluciones se caracterizan por propagar información a lo largo de curvas características en el espacio-tiempo y por la aparición de discontinuidades, comúnmente llamadas ondas de choque. Además de los flujos superficiales de agua, muchos otros modelos caen en esta categoría: sistemas para flujos sanguíneos, dinámica de gases, flujos multifásicos, transporte de masas en geofísica y una variedad de fenómenos adicionales.
Para estudiar estas ecuaciones hiperbólicas se han desarrollado métodos numéricos robustos y eficientes que permiten aproximar sus soluciones con gran precisión. Estos algoritmos suelen requerir únicamente las condiciones iniciales y de frontera para producir una solución aproximada. Para más detalles sobre estas ecuaciones y los métodos numéricos empleados, véase [3]. Aunque los métodos numéricos proporcionan respuestas útiles, su validez depende de la calidad del modelo y del planteamiento matemático del problema. Sin embargo, una cuestión fundamental es determinar si, dadas condiciones iniciales y de frontera adecuadas, la ecuación posee una solución teórica única. En [4], esta pregunta se resolvió de forma afirmativa para una clase importante de sistemas hiperbólicos, marcando un avance crucial en el área.
La interacción entre el rigor matemático y la necesidad práctica de modelar fenómenos naturales es, por tanto, indispensable. Ambas perspectivas se complementan y permiten que la ciencia avance hacia modelos más precisos, estables y útiles para entender y responder ante los retos impuestos por la naturaleza.
Referencias
[1] Berger, M. J., George, D. L., LeVeque, R. J., & Mandli, K. T. (2011). The GeoClaw software for depth-averaged flows with adaptive refinement. Advances in Water Resources, 34(9), 1195-1206.
[2] Brecht, R., Cardoso-Bihlo, E., & Bihlo, A. (2025). Physics-informed neural networks for tsunami inundation modeling. Journal of Computational Physics, 114066.
[3] LeVeque, R. J. (1992). Numerical methods for conservation laws (Vol. 132). Birkhäuser.
[4] Bianchini, S., & Bressan, A. (2005). Vanishing viscosity solutions of nonlinear hyperbolic systems. Annals of Mathematics, 223-342.
El doctor Gerardo Hernández Dueñas es profesor titular en el Instituto de Matemáticas de la UNAM Juriquilla
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