Tales de Mileto -nacido en el siglo VI a.C.- es considerado uno de los primeros matemáticos de la historia por haber utilizado razonamiento deductivo para formular algunos de los primeros teoremas como los conocemos hoy. Menos de 300 años después de sus aportaciones, ya existían distintas perspectivas sobre la naturaleza de los objetos matemáticos, como lo son el platonismo matemático y el realismo aristotélico. La pregunta que intentan responder es, ¿los objetos matemáticos son una construcción humana o existen independientemente de nosotros? En otras palabras, ¿las matemáticas se ‘inventan’ o se descubren?
Desde mi perspectiva, inventamos el lenguaje, las preguntas, las definiciones. Pero, una vez que establecemos ciertas reglas -o axiomas-, las matemáticas empiezan a decirnos cosas que nosotros no elegimos. Esto, para mí, las convierte en una herramienta de exploración. Por ejemplo, una matemática -como yo- puede tener la intuición de que un resultado debería ser cierto. Al intentar demostrarlo, descubrimos que la intuición sí nos llevaba a la verdad o que, por el contrario, las matemáticas tenían preparada una sorpresa para nosotros. Así, cuando finalmente encontramos una demostración, no siento que haya inventado la verdad de un teorema: siento que la encontré.
Con esta idea como punto de partida, mi objetivo en este texto es mostrarte algunas de las maravillas de las matemáticas que, incluso después de dedicarme a ellas, siguen haciéndome sentir que las descubrimos.
- Fibonacci y la naturaleza
¿Alguna vez has jugado “me quiere, no me quiere”? Consiste en ir quitando un pétalo mientras decimos “me quiere” y luego otro mientras decimos “no me quiere”, alternando las dos frases hasta llegar al último pétalo de una flor. Si lo has hecho, probablemente habrás notado que muchas veces terminamos diciendo: “¡me quiere!”. Esto puede parecer una simple coincidencia, sin embargo, hay algo curioso detrás: ciertos números aparecen con mucha más frecuencia que otros cuando contamos los pétalos de las flores, como el 5 y el 13. Además, si observas con atención un girasol o una piña, podrás encontrar patrones de espirales en los que aparecen números como 13, 21, 34 o 55.
Todos los números mencionados pertenecen a la sucesión de Fibonacci, la cual tiene una propiedad curiosa. Si dividimos un número entre el anterior, esa razón se acerca cada vez más a un número llamado proporción áurea. La cual, a su vez, está relacionada con un ángulo llamado ángulo áureo –aprox. 137.5o-. En muchos patrones de crecimiento vegetal, las nuevas hojas o pétalos aparecen separadas aproximadamente por este ángulo. Con eso en mente, me surge la pregunta: ¿quién le enseñó matemáticas a las plantas?
Lo que ocurre en realidad es mucho más interesante. Las plantas necesitan distribuir sus hojas, pétalos y semillas de la manera más eficiente posible para aprovechar el espacio disponible, así como maximizar su exposición a la luz. El crecimiento de las hojas o pétalos comienza en el meristemo, que es un conjunto de células capaces de producir nuevos tejidos. Sin embargo, no puede crecer hacia todas las direcciones a la vez, además, las nuevas estructuras no pueden aparecer todas exactamente en la misma dirección, pues eso no aprovecha el espacio disponible. Así que, mientras van creciendo siguen un patrón que puede describirse mediante una espiral. Finalmente, al observar las espirales que forman algunas plantas, encontramos con frecuencia dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci. Por supuesto, las plantas no conocen la sucesión; sin embargo, cuando observamos cómo crecen, ahí la encontramos.
- Ciertas estructuras matemáticas aparecen donde no las invitamos
Para este ejemplo, vamos a construir algo juntos. Necesitarás una hoja, una regla y algo con qué dibujar. ¿Ya lo tienes? Entonces, por favor dibuja un triángulo XYZ. Dibújalo como sea que te lo imagines: puede ser equilátero, isósceles, escaleno. Puede ser parecido a un triángulo rectángulo, puede estar muy estirado hacia un lado… No importa. Ahora, marca el punto medio de cada uno de los lados del triángulo y llamémoslos A, B y C. Por otro lado, traza la recta perpendicular desde los puntos X, Y y Z con la recta del lado opuesto del triángulo. Estas rectas son llamadas las alturas del triángulo, y no te preocupes si necesitas prolongar la recta, en algunos casos pasa. Llamemos D, E y F a los puntos donde la altura intercepta al lado opuesto. Otra cosa, ¿notas que las tres alturas coinciden en un mismo punto? A ese punto le llamaremos O -por ser el ortocentro-. Por último, llamemos G, H e I a los puntos medios entre O y X, Y y Z respectivamente. Para este momento deberías tener un dibujo parecido al mío que te muestro a continuación.
Hasta aquí, nada parece particularmente extraordinario: sólo son nueve puntos obtenidos mediante construcciones geométricas a partir de los lados, de las alturas y del ortocentro. No hay ninguna razón evidente para esperar que estos nueve puntos estén relacionados de una manera sencilla. Sin embargo, aquí aparece la magia de las matemáticas: si intentas dibujar una circunferencia que pase por tres de los puntos A, B, C, D, E, F, G, H o I, descubrirás que en realidad todos están en ella. Nota que nosotros no elegimos nueve puntos que estuvieran sobre una circunferencia, ni dibujamos primero la circunferencia para después colocar los puntos sobre ella, sino que construimos los nueve puntos y la circunferencia apareció. Además, no importa qué triángulo elijas, la circunferencia de los nueve puntos siempre existe. Entonces, ¿la circunferencia estaba ahí desde el principio o la inventamos al descubrirla?
- Una suma que es igual a… ¿qué?
Consideremos los números naturales -sin el cero-, es decir, aquellos que usas para contar personas: 1, 2, 3, 4, etc. El problema que te contaré a continuación fue planteado en 1644 y estudiado por muchos años sin éxito, por varios matemáticos, entre ellos los hermanos Bernoulli. La pregunta era encontrar una expresión exacta de la suma infinita de los recíprocos de los cuadrados de los números naturales🤔.
¿Qué, qué? Querían saber si la suma mostrada a continuación tenía un valor exacto:
Casi un siglo después, en 1735, un matemático llamado Euler encontró la respuesta. Su sorprendente idea consistió en tratar la función seno de una manera parecida a como tratamos un polinomio: a partir de sus raíces. Con eso, construyó una factorización que le permitió conectar esta suma con un número muy particular. Nota que en esta suma estamos usando sólo números naturales, no hay círculos ni ángulos. Sin embargo, demostró que el valor exacto de la suma es:
Aquí es donde, para mí, las matemáticas comienzan a parecer mágicas: ¿qué tiene que ver una suma formada únicamente por números naturales con el número que define la relación entre la circunferencia y su diámetro? A primera vista, absolutamente nada y, sin embargo, están profundamente conectados. Euler no sólo mostró eso, sino que existe un patrón general para todas las potencias pares, te comparto las siguientes dos.
Estos resultados nos dejan claro que existe una conexión entre π y los números naturales, la cual vamos descubriendo poco a poco. Quizá esta sea una de las mejores sensaciones que puede experimentar una matemática: comenzar con una pregunta que parece no tener ninguna relación con lo que terminas encontrando, o que, escondido en tu pregunta, hay algo que tú no habías puesto ahí.
Como decía Sor Juana Inés de la Cruz: “No estudio por saber más, sino por ignorar menos”, y con todo lo que he estudiado -poco o mucho-, no sé si las matemáticas existen independientemente de nosotros, pero, después de trabajar con ellas, me cuesta creer que todo haya sido simplemente inventado. Quizá los seres humanos comenzamos a descubrirlas mucho antes: primero contamos, después medimos. Luego encontramos patrones y, eventualmente, demostramos. Y sólo mucho tiempo después de empezar a contar, comenzamos a preguntarnos qué es lo que estamos haciendo. Más de dos mil años después, seguimos sin tener una respuesta definitiva.
La maestra Ileana A. González Escalante es estudiante de doctorado en el Instituto de Matemáticas de la UNAM Campus Juriquilla
ileana.gonzalez@im.unam.mx
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