En esta reseña vamos a platicar acerca de un problema matemático que permaneció sin solución aproximadamente 350 años, pero que sobretodo ganó un lugar especial entre otros tantos problemas debido a la gran cantidad de historias generadas a su alrededor, siendo algunas realistas y otras tantas con toques fantasiosos que dan cierto interés a la historia de este problema, llamado el último teorema de Fermat:
“No es posible escribir un cubo como suma de dos cubos o una cuarta potencia como suma de dos cuartas potencias, y en general, no es posible que un número que es una potencia mayor de dos se escriba como suma de dos potencias del mismo tipo.”
Toda la historia respecto a dicho teorema comenzó en 1630 aproximadamente, mientras Fermat leía la Aritmética de Diofanto, que mostraba cómo resolver el problema: “escribir un número cuadrado como suma de dos números cuadrados”, tras esto Fermat creó la conjetura anteriormente mencionada, que escribió en los márgenes del libro, además de mencionar que tenía una solución que no cabía en los estrechos márgenes del libro.
Ahora, es importante destacar que Fermat escribía constantemente en sus libros ideas o conjeturas que tenía en su momento, pensando en desafíos posibles a otros matemáticos o en ideas que pudiera utilizar después, lo que no precisa que realmente haya tenido una solución de su último teorema. Además, Fermat enviaba cartas a sus amigos matemáticos en las cuales mostraba sus avances o desafiaba a estos a buscar una solución a problemas que Fermat había resuelto, y la solución del último teorema no aparece en sus escritos; sin embargo, sí existen escritos con las soluciones para n = 3 y n = 4 del teorema.
También cabe recordar que el término “último teorema” se acuñó a éste ya que fue la última conjetura de Fermat que seguía sin resolverse. Más aún, algunas de las conjeturas de Fermat que dejó abiertas resultaron falsas; por ejemplo, la de los llamados números de Fermat, que son de la forma 22n+1 y que Fermat conjeturó que siempre serían primos, pero Euler mostró su error en el caso n = 5.
Los escritos y conjeturas de Fermat llegaron al público gracias a su hijo Samuel Fermat, que público dichas ideas para que no fueran olvidadas tras la muerte de su padre.
En 1753, Euler utilizó algunas de las ideas de Fermat como inspiración para abordar sus propios problemas. En particular, Euler no logró brindar una solución al último teorema, pero sí demostró por otras vías diferentes a las de Fermat los casos n = 3 y n = 4 .
Tiempo después, en 1801, Gauss público el Disquisitiones Arithmeticae, un libro cuya influencia puede ser comparada con el de Los Elementos de Euclides, pero en la cual no incluye ninguna referencia al último teorema de Fermat. Tiempo después, él presenta una solución para el caso n = 5 y menciona lo siguiente, respecto a por qué no incluyó dicho teorema en su publicación:
“Confieso que el último teorema de Fermat, como pregunta aislada, tiene un interés muy reducido para mí, porque podría fácilmente imaginar muchas proposiciones matemáticas de ese tipo, que uno no podría ni demostrar ni refutar.”
Después, Sophie Germain, con quien Gauss mantiene correspondencia, mostró algunas ideas sobre el último teorema, y su contribución más grande fue la del teorema que ahora lleva su nombre, que enuncia:
“Si n y 2n son dos números primos (ej. 5 y 11), y si tres números enteros x, y, z satisface la fórmula xn+yn=zn , entonces uno de los tres números x, y, z es divisible por nn.
Este avance trajo una consecuencia inmediata a las formas de abordar el último teorema de Fermat, dividiendo su solución en dos casos:
- Caso I – No existen tres enteros x, y, z que satisfacen xn+yn=zn, y tales que ninguno de ellos es divisible por n,
- Caso II – No existen tres enteros x, y, z que satisfacen xn+yn=zn, y tales que uno, y sólo uno de ellos, es divisible por n.
Sophie Germain demostró que el caso I se cumplía para toda potencia n < 100 y Legendre amplió su prueba para todo n < 197 . El Caso II resulto ser más difícil, pero Legendre y Dirichlet encontrar la solución para n = 5 y tiempo después Dirichlet lo probó para mientras buscaba demostrar el caso de n = 7 , el cual fue demostrado 7 años después, en 1839 por Gabriel Lamé.
Situados ahora a más de 200 años de la escritura marginal de Fermat, sólo se encontraron resultados dispersos, soluciones para casos específicos, pero nada general, siendo ya bastante tiempo para no haber llegado a la solución de Fermat.
En el siglo XX, las ideas de Kummer acerca de “números complejos ideales” y su teoría, creada en parte, gracias al último teorema de Fermat, fueron sistematizadas por trabajos de Dedekind y Kronecker para crear el “álgebra conmutativa” de alto impacto en ese siglo, pero en la cual no se profundizará en este momento.
Con la llegada de los métodos computacionales para resolver problemas, Lehmer probó el caso I para exponentes menores que , pero sin obtener un resultado general.
En 1957, los matemáticos Taniyama y Shimura conjeturaron una relación entre curvas elípticas y formas modulares, y mencionaron al terminar: “aquél que demuestre esta conjetura, demostrará el último teorema de Fermat”.
Dicho enunciado fue cierto pues, en 1995, Andrew Wiles y Richard Taylor demostraron un caso particular de la conjetura Taniyama-Shimura, implicando así que el misterio alrededor del último teorema de Fermat se desvaneciera. Había sido demostrado.
