En las matemáticas escolares, la palabra “teorema” nos es familiar al estudiar el Teorema de Pitágoras, pero ¿qué es un teorema? Un teorema es una afirmación que es verdadera, pero requiere de una demostración. En las ciencias existen diversos métodos para demostrar los hechos que se afirman y, en las ciencias matemáticas, la demostración es uno de ellos.
Aprender a demostrar no es tarea fácil, pero vamos a elaborar un panorama general acerca de este primer teorema escolar y algunas de sus implicaciones a lo largo, ancho y alto de toda la historia. Claro que necesitaremos ponernos nuestros lentes de geometría espacial en tres dimensiones. Los antiguos egipcios conocían diversos métodos para medir y delimitar regiones en sus territorios y, evidentemente, para construir monumentos.
Podemos buscar en internet acerca de la regla 3-4-5 como una herramienta utilizada para medir y construir triángulos rectángulos. ¿Por qué 3, 4, 5? Esta terna satisface varias propiedades especiales:
- Son números enteros positivos (lo cual hace fácil pensar en longitudes).
- Son consecutivos: cada número es el sucesor de otro.
- Satisfacen el teorema de Pitágoras, es decir: 32 + 42 = 52.
Si intentamos buscar otro conjunto de números que cumpla estas tres propiedades, pronto nos convenceremos de que no lo hay.
Hablemos entonces de estas condiciones. En las ciencias matemáticas hacemos esto todos los días: definimos objetos (como las ternas o los triángulos), observamos propiedades (como el hecho de que dos números sean o no consecutivos) y establecemos condiciones para luego buscar más elementos; ¿cuáles son todas las ternas pitagóricas que satisfacen las condiciones 1, 2 y 3?
Las matemáticas y los matemáticos tenemos también ambición. Aquí no basta con saber que 3-4-5 es una terna que cumple las condiciones, queremos hallar todas las posibles o, de ser posible, demostrar que no hay más.
Y tú dirás: ¿Para qué? ¿A quién le importa todo esto? Bueno, además de a ti y a mí, habrá muchas personas allá afuera encantadas con tener métodos tan simples para construir casas, colocar mosaicos en ellas o describir trayectorias de aviones, entre otras posibles aplicaciones, como poder dibujar un triángulo 3-4-5.
Y, hablando de dibujar, ¿puedes dibujar un triángulo rectángulo usando sólo un cordón de longitud fija? Si logramos hacer esto, entonces el teorema de Pitágoras nos garantiza que tendremos un ángulo recto. Antiguamente no se tenían las herramientas para computar muchos casos para verificar que esto era cierto.
Un antiguo problema chino
El problema dice lo siguiente:
Encontrar el radio de una circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden a, b y su hipotenusa c.
Veamos una historia para ilustrar qué pasaría con el problema en el contexto de la antigua China, para el caso 3-4-5.
A la sombra de un gran árbol, junto a una maqueta de monumento con forma de dragón, se encuentra Nigrichu, un joven entusiasta, con una tablilla en la mano:
— Menkau, ¡ya encontré el radio del círculo inscrito! Para un triángulo de lados 3, 4, 5, uso la fórmula:
Menkau, frunciendo el ceño:
— Pero Nigrichu, ¿por qué debería confiar en ese número? Yo quiero comprender por qué es así. No acepto fórmulas vacías.
Don Sepu, entrando con un bastón y una vara de medir:
— Paz, mis amigos. Recordad que el conocimiento no se impone: se cultiva.
Don Sepu, con paciencia y pulso impecable, traza un triángulo en la arena y dice:
— Consideremos un triángulo rectángulo de lados a = 3, b = 4, c = 5. El círculo inscrito toca cada lado y su centro es el incentro.
— Si dibujamos las alturas desde el incentro I a cada lado, se forman tres triángulos dentro del grande. Cada uno tiene altura r, el radio buscado. Sumando las áreas:
— Pero el área también se calcula como:
— Igualamos ambas expresiones:
— Por lo que r vale 1.
Menkau, con un gesto de aprobación:
— Ahora lo comprendo. La fórmula tiene raíces en la estructura misma del triángulo.
Nigrichu, reflexionando:
— Entonces… la fórmula no es el principio, sino una consecuencia.
Don Sepu, con una sonrisa serena:
— Así es, hijo de Xing y Gong. La fórmula es el fruto; la demostración, la raíz. El saber completo… es el árbol entero.
¿Cómo podríamos generalizar esta idea para un triángulo de lados a, b y c? El antiguo problema chino puede ser visualizado utilizando dos principios fundamentales y la idea de equivalencia de áreas. ¿Tienes papel y lápiz a mano? ¡Inténtalo! Dibuja un rectángulo. Traza su diagonal. Esta diagonal divide al rectángulo en dos triángulos rectángulos congruentes de base a, altura b e hipotenusa c.
Con un poco de imaginación y utilizando el principio de equivalencia de áreas se puede ver que el radio de la circunferencia inscrita es:
Esto nos lleva a nuestra obsesión por clasificar objetos. Digamos que queremos encontrar todas las ternas pitagóricas enteras que corresponden a un círculo inscrito de radio r = 1.
Esta terna pitagórica nos deja un mensaje claro: las matemáticas también se pueden hacer concibiendo, realizando y manipulando ideas; contando la historia que nos acompaña. El descubrimiento surge con la participación, las discusiones, y las aplicaciones pueden abrir la puerta hacia horizontes insospechados.
Con este espíritu, invitamos a toda persona interesada en el mundo de las matemáticas a acercarse a la Unidad del Instituto de Matemáticas, Juriquilla, y a la oferta académica de la ENES Juriquilla, donde siempre habrá charlas, discusiones amistosas y proyectos a desarrollar, donde no siempre se ve el alcance de una idea que, cultivada en el tiempo, puede enraizar tan profundamente hasta llevarnos hacia un descubrimiento capaz de transformar nuestra visión del mundo para siempre.
El doctor Eric Pauli Pérez Contreras es profesor del Instituto de Matemáticas de la UNAM
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